Report on research results achieved during the funding period of the project “Optimal Control of Viscous Fatigue Damage Models for Brittle Materials: Optimality Systems”

Abstract

The proposed project aims at establishing first-order necessary optimality conditions in form of qualified optimality systems for a control problem (P) governed by a viscous fa- tigue damage model for brittle materials. This describes the evolution of the displacement and damage (state variables) under the influence of a time-dependent load (control) in a purely elastic brittle material. The mathematical model (state equation) consists of a non-linear equation coupled with a viscous history-dependent evolutionary variational in- equality. The latter involves a history-variable which accounts for the fatigue experienced by the material. The problem has a non-linear, and more importantly, a non-smooth character. Thus, we are concerned with non-smooth optimization problems in function spaces. This excludes the application of standard adjoint techniques for the derivation of first-order necessary conditions in form of optimality systems. We emphasize that we dealt with the non-smooth structure of (P) by following a direct approach, i.e., we did not use classical regularization techniques that smoothen the problem. Moreover, (P) features control constraints as well as a non-smooth term in the objective. We addressed two auxiliary optimal control problems. The first one was a prototypi- cal optimization problem (P1) governed by an elliptic non-smooth PDE. Furthermore, it contained a non-smooth component in the cost and box constraints. It served as an exemplary problem for the derivation of strong stationary optimality conditions for our second control problem (P2). This additional auxiliary optimization problem is motivated by our concrete application. It differs from (P) only regarding its state system, which this time consists of a suitable approximation of the state equation in terms of a non-smooth coupled PDE system. One could even dispose of two different ways to approximate the iscous fatigue damage model, which allowed us to present an alternative to our second optimization problem. In order to be achieve our goals we performed a careful investigation in more steps, and we accomplished the following: 1. We derived necessary optimality conditions of strong stationary type for the prototypi- cal problem (P1) in [1]. 2. We established strong stationarity for our second control problem (P2) in [4]. In [2] we even went a step further and considered non-smooth degradation mappings, which was not part of the original proposal. However, [2,4] have the backdraw that they do not take a balance of momentum equation in the account (this is a common approach in the literature, to make the problem less complex and focus on the challenges brought by the non-differentiable terms). 3. We obtained unique solvability results for rate-independent problems with history- dependence [5]. This general class allowed for dissipation functionals that are typical for damage models with fatigue. The respective problem was more involved, as we dropped the rate-dependence, which again, was not planned in the initial proposal. On the other hand, we simplified the model in the same manner as in item 2, by not considering a balance of momentum equation. 4. We derived optimality systems for the more difficult case of rate-independent models (in finite dimensions) [6]. In this context, we strongly relied on the findings from [5] and [2]. Moreover, the proposed research methods were used for achieving satisfying results in other areas that involve non-smooth settings. These include non-smooth fractional dif- ferential equations [3], non-smooth PDEs with non-linear term acting on the control [9], Signorini type problems with history dependence [7] and the shape optimization of non- smooth PDEs [8,10,11].

Das Ziel des vorgeschlagenen Projekts ist die Herleitung notwendiger Optimalitätsbe- dingungen erster Ordnung in Form von Optimalitätssystemen für ein Steuerungsproblem (P), dessen Nebenbedingung ein viskoses Ermüdungsschädigungsmodell ist. Dieses beschreibt die Evolution der Verschiebung und Schädigung (Zustandsvariablen) unter dem Einfluß einer zeitabhängigen Kraft (Steuerung) in einem rein elastischen spröden Material. Das mathematische Modell (Zustandsgleichung) besteht aus einer nicht-linearen Gleichung, die gekoppelt mit einer viskosen evolutionären Variationsungleichung ist. Let- ztere beinhaltet eine Variable, welche die Materialermüdung erfasst. Das Problem hat ein nicht-lineares und, viel wichtiger, ein nicht-glattes Verhalten. De- mentsprechend befassen wir uns mit nicht-glatten Optimierungsproblemen in Funktio- nenräumen. Somit ist die Anwendung klassischer Methoden für die Herleitung von Op- timalitätssystemen nicht ohne Weiteres möglich. Wir betonen, dass wir die nicht-glatte Struktur von (P) via (weniger bekannte) direkte Methoden behandeln haben im Gegen- satz zu der Standardtheorie für nicht-glatte Probleme, die auf Glättungstechniken basiert. Darüber hinaus beinhaltet (P) sowohl Kontrollschranken als auch einen nicht-glatten Term in dem Zielfunktional. Wir haben zwei Hilfs-Optimalsteuerungsprobleme untersucht. Das erste war ein pro- totypisches Optimierungsproblem (P1), das durch eine elliptische, nichtglatte partielle Differentialgleichung gesteuert wird. Ferner enthielt es eine nichtglatte Komponente in den Kosten und s.g. box constraints. Es diente als beispielhaftes Problem zur Her- leitung starker stationärer Optimalitätsbedingungen für unser zweites Steuerungsprob- lem (P2). Dieses zusätzliche Hilfsproblem ist durch unsere konkrete Anwendung mo- tiviert. Es unterscheidet sich von (P) nur in seinem Zustandssystem, das diesmal aus einer geeigneten Approximation der Zustandsgleichung in Form eines nichtglatten, gekop- pelten PDE-Systems besteht. Man könnte sogar zwei verschiedene Wege zur Approx- imation des viskosen Ermüdungsschadensmodells wählen, was uns erlaubt, eine Alter- native zu unserem zweiten Optimierungsproblem zu präsentieren. Um unsere Ziele zu erreichen, haben wir eine sorgfältige Untersuchung in mehreren Schritten durchgeführt und dabei Folgendes erzielt: 1. Wir haben stark stationäre Optimalitätsbedingungen für das prototypische Problem (P1) hergeleitet [1]. 2. Wir haben starke Stationarität für unser zweites Steuerungsproblem (P2) etabliert [4]. In [2] sind wir sogar einen Schritt weitergegangen und haben nicht-glatte Abbildungen betrachtet, die nicht Teil des ursprünglichen Projektvorschlags waren. Jedoch haben [2,4] den Nachteil, dass sie die Impulsbilanzgleichung nicht berücksichtigen (dies ist ein gängiger Ansatz in der Literatur, um das Problem weniger komplex zu machen und sich auf die Herausforderungen durch die nicht-differenzierbaren Terme zu konzentrieren). 3. Wir erzielten Eindeutigkeits- und Lösbarkeitsresultate für ratenunabhängige Probleme mit History-Abhängigkeit [5]. Diese allgemeine Klasse erlaubte Dissipationsfunktionale, die typisch für Schadensmodelle mit Ermüdung sind. Dieses Problem war anspruchsvoller, da wir die Ratenabhängigkeit wegfielen ließen, was wiederum nicht im ursprünglichen Projektvorschlag vorgesehen war. Andererseits vereinfachten wir das Problem in dersel- ben Weise wie in Punkt 2, indem wir die Impulsbilanzgleichung nicht berücksichtigten. 4. Wir haben Optimalitätssysteme für den schwierigeren Fall ratenunabhängiger Modelle (in endlichdimensionalen Räumen) hergeleitet [6]. In diesem Zusammenhang haben wir uns stark auf die Ergebnisse aus [5] und [2] gestützt. Darüber hinaus wurden die vorgeschlagenen Forschungsmethoden genutzt, um zufrieden- stellende Ergebnisse in anderen Bereichen zu erzielen, die nicht-glatte Strukturen bein- halten. Dazu gehören nicht-glatte fraktionale Differentialgleichungen [3], nicht-glatte PDEs mit nichtlinearem Term, der auf die Steuerung wirkt [9], Signorini-Probleme mit History- Abhängigkeit [7] sowie die Formoptimierung nicht-glatter PDEs [8,10,11].