Refractive dynamic tensor tomography: towards a holistic approach

Abstract

Within the framework of this project significant advancements in tensor tomography across various settings have been achieved including static, dynamic, attenuated, and refractive cases. Generalized attenuated ray transforms for higher-order tensor fields were studied, where integral moments were explicitly calculated providing unique solutions to boundary value problems under certain smoothness conditions. Novel numerical methods, particularly using the approximate inverse, demonstrated accurate reconstructions for 2D vector and 2-tensor tomography from limited data. Furthermore, singular value decompositions for the underlying integral transforms have been computed and continuity estimates in Sobolev-Bochner spaces were derived. An alternative approach investigated tensor tomography as an inverse source problem for transport equations that emerge from the geodesic vector field. By adding a viscosity term, weak solutions were analyzed, proving unique existence under mild conditions on refractive indices and absorption coefficients. The adjoint of the dynamic ray transform was deduced leading to two different, equivalent representations. The integral representation proved computationally simpler, albeit requiring geodesic equation solutions for different initial values. As for the numerical implementations, we focused on the stationary case, employing a polar grid. Challenges included optimal grid sampling and handling singularities at the origin. Synthetic data tests validated numerical convergence for decreasing viscosity parameters. The error analysis revealed that the integral representation significantly outperforms PDE-based methods in view of computational efficiency while achieving comparable reconstruction accuracy. The reconstruction was performed using the attenuated Landweber method with Nesterov acceleration applied to both, the integral and PDE-based formulations. The integral operator method proved to be superior regarding efficiency leading to its exclusive use for the non-Euclidean case. Additional experiments analyzed the impact of noise and deviations from straight-line trajectories confirming improved accuracy by using refraction modeling, despite increased computational cost. Im Rahmen des Projekts wurden signifikante Fortschritte auf dem Gebiet der Tensor-Tomographie erzielt für statische, dynamische, gedämpfte Settings und unter Einbeziehung von Beugungen. Es wurden verallgemeinerte gedämpfte Strahl-Transformationen für Tensorfelder höherer Ordnung untersucht und Integralmomente berechnet, wodurch eindeutige Lösbarkeit des zugrunde liegenden Randwertproblems unter bestimmten Glattheitsannahmen bewiesen werden konnte. Neuartige Lösungsmethoden, die zum Teil auf der approximativen Inversen basieren, führten zu exakten Rekonstruktionen für Vektor- und 2-Tensorfelder in zwei Dimensionen. Des Weiteren wurden Singulärwertzerlegungen für die entsprechenden Integraltransformationen hergeleitet und Stetigkeits-Abschätzungen in Sobolev-Bochner-Räumen bewiesen. In einem alternativen Ansatz wurde Tensor-Tomographie als inverses Quellproblem für Transportgleichungen untersucht, welche auf dem geodätischen Vektorfeld beruhen. Durch Addition eines Viskositätsterms war es möglich, die eindeutige Existenz schwacher Lösungen unter bestimmten, milden Bedingungen an den Absorptionskoeffizienten und den Brechungsindex nachzuweisen. Der zum Vorwärtsproblem gehörende adjungierte Operator der dynamischen Strahl-Transformation wurde hergeleitet und führte zu zwei unterschiedlichen, äquivalenten Darstellungen. Die Integraldarstellung erwies sich dabei als rechnerisch einfacher, obwohl sie mehrfache Lösungen der geodätischen Differentialgleichung für unterschiedliche Anfangswerte erforderte. Die numerische Implementierung der Verfahren konzentrierte sich auf den stationären Fall unter Verwendung von Polargittern. Die Herausforderungen bestanden im optimalen Gittersampling und der Behandlung von Singularitäten im Ursprung. Unter Verwendung synthetischer Testdaten wurde numerische Konvergenz des Verfahrens für unterschiedliche Regularisierungs- und Viskositätsparameter nachgewiesen. Die numerische Validierung ergab, dass die Verfahren, welche Integraldarstellungen verwenden, den PDE-basierten Methoden hinsichtlich Effizienz deutlich überlegen waren bei gleicher Rekonstruktionsgenauigkeit. In beiden Fällen wurde die gedämpfte Landweber-Methode mit Nesterov-Beschleunigung für die Rekonstruktion angewendet. Dabei erwies sich die Methode basierend auf Intergaloperatoren als effizienter und wurde daher für den nicht-Euklidischen Fall ausschließlich eingesetzt. Weitere Tests widmeten sich den Untersuchungen des Einflusses von Rauschen in den Daten sowie der Ablenkung der Trajektorien weg von Geraden, wobei sich zeigte, dass die Einbeziehung von Beugungen in die Modellierung die Genauigkeit erhöht und die höheren Rechenzeiten dadurch aufwiegt.