Asynchronous and synchronous states in the heterogeneous Kuramoto model

Abstract

Numerous natural and technical systems rely on the interaction of individual units that influence one another, such as neurons in the brain, heart cells, or generators in power grids. Often, these systems synchronize, meaning all units behave in a coordinated way. The Kuramoto model is a well-known mathematical model used to study how synchronization happens. While synchronized states have been widely studied, less is known about asynchronous states, where the units stay out of sync but still interact.

This project, funded by the DFG, focused on understanding such asynchronous states in complex systems where the properties of individual units and their connections vary randomly. In the first part of the project, we studied systems without inertia and developed the iterative mean-field (IMF) method. This method makes it possible to understand the behavior of large networks by analyzing a single unit in a statistically consistent way. We showed that this approach gives reliable results even in small systems and for different kinds of randomness.

In the second part of the project, we extended the method to systems with inertia, which are more realistic in many physical and biological settings. We found that at intermediate values of inertia, the fluctuations in the system become especially uncorrelated, and the system behaves almost like white noise. This state also shows the highest level of dynamical complexity.

Our findings help explain how asynchronous behavior works in systems where synchronization is not always the goal. This is important in areas like neuroscience or power systems, where synchronization is not always desirable and can sometimes lead to problems. The approach we developed could also be applied in other areas where large, noisy systems interact, such as in modeling brain activity, studying the stability of power grids, understanding collective motion in animal groups, or analyzing patterns in climate systems.

Zahlreiche natürliche und technische Systeme beruhen auf der Wechselwirkung vieler einzelner Einheiten, die sich gegenseitig beeinflussen – wie etwa Neuronen im Gehirn, Herzzellen oder Generatoren in Stromnetzen. Häufig synchronisieren sich solche Systeme, das heißt, alle Einheiten verhalten sich auf koordinierte Weise. Das Kuramoto-Modell ist ein bekanntes mathematisches Modell, das verwendet wird, um zu untersuchen, wie Synchronisation entsteht. Während synchronisierte Zustände umfassend erforscht wurden, ist über asynchrone Zustände, in denen die Einheiten nicht im Gleichtakt arbeiten, aber dennoch miteinander interagieren, deutlich weniger bekannt. Dieses von der DFG geförderte Projekt befasste sich mit dem Verständnis solcher asynchroner Zustände in komplexen Systemen, bei denen sowohl die Eigenschaften der einzelnen Einheiten als auch ihre Verbindungen zufällig verteilt sind. Im ersten Teil des Projekts untersuchten wir Systeme ohne Trägheit und entwickelten die iterative Mean-Field-Methode (IMF). Diese Methode ermölicht es, das Verhalten großer Netzwerke zu analysieren, indem man eine einzelne repräsentative Einheit unter statistisch konsistenten Bedingungen betrachtet. Wir konnten zeigen, dass dieser Ansatz auch bei kleinen Systemen und verschiedenen Arten von Unordnung verlässliche Ergebnisse liefert. Im zweiten Teil des Projekts erweiterten wir die Methode auf Systeme mit Trägheit, die in vielen physikalischen und biologischen Anwendungen realistischer sind. Wir stellten fest, dass bei mittleren Trägheitswerten die Fluktuationen im System besonders unkorreliert sind und sich das Verhalten dem weißen Rauschen annähert. In diesem Zustand erreicht das System zudem ein Maximum an dynamischer Komplexität. Unsere Ergebnisse tragen dazu bei, das Verhalten asynchroner Systeme besser zu verstehen – insbesondere in Bereichen, in denen Synchronisation nicht das Ziel ist. Dies ist beispielsweise in der Neurowissenschaft oder in Energiesystemen relevant, wo Synchronisation nicht immer wünschenswert ist und mitunter zu Instabilität führen kann. Die von uns entwickelte Methode könnte auch in anderen Forschungsbereichen Anwendung finden, in denen große, verrauschte Systeme miteinander wechselwirken – etwa bei der Modellierung neuronaler Aktivität, der Stabilitätsanalyse von Stromnetzen, dem Verständnis kollektiver Bewegungen in Tiergruppen oder der Untersuchung von Mustern im Klimasystem.